Integrierte Prozesse

Auszug

Die bisherige Darstellung beschränkte sich auf stationäre Prozesse, insbesondere ARMA-Prozesse. Wenn wir uns auf rein nicht-deterministische Prozesse, deren wichtigste Klasse die ARMA-Prozesse sind, beschränken, so gibt es aufgrund des Satzes von Wold folgende Darstellung:

$$ X_t = \mu + \psi \left( L \right)Z_t , $$

wobei Z _t ∼ WN (0, s²) und $\sum\nolimits_{j = 0}^\infty {\psi _j^2 } < \infty$. Typischenveise wird X _t als ARMA-Prozess modelliert, so dass $\psi \left( L \right) = \frac{{\Theta \left( L \right)}} {{\Phi \left( L \right)}}$. Diese Darstellung impliziert folgende zwei Eigenschaften:

$$ \begin{gathered} \mathbb{E}X_t = \mu \hfill \\ \lim _{h \to \infty } \mathbb{P}_t X_{t + h} = \mu \hfill \\ \end{gathered} $$

Diese Eigenschaften werden oft als „mean reverting“ bezeichnet, da man davon ausgehen kann, dass der Prozess langfristig wieder zu seinem konstanten Mittelwert tendiert. Abweichungen von diesem Mittelwert sind nur temporär oder transitorisch.