Approssimazione WKB

Sommario

10.1 Oscillatore Armonico

Determinare lo spettro dell’Oscillatore Armonico in approssimazione WKB.

Soluzione

Il metodo WKB consente di calcolare un’approssimazione agli autovalori dell’energia E _n imponendo che sia soddisfatta la relazione (A.80), cioè che l’integrale dell’impulso lungo la traiettoria chiusa classica (un periodo) per quell’energia sia pari a $n + \frac{1}{2}$ di 2πℏ dove n è un numero intero. Tale integrale è uguale all’area inclusa all’interno della traiettoria nello spazio delle fasi p – q. Per il livello E _n tale traiettoria classica è definita dalla relazione

$$ E_{n} = \frac{{p^{2} }}{2m}{\mkern 1mu} + \frac{1}{2}{\mkern 1mu} m\omega^{2} q^{2} $$

che possiamo riscrivere anche nella forma.

$$ 1 = \frac{{p^{2} }}{{2mE_{n} }}{\mkern 1mu} + \frac{{q^{2} }}{{\frac{{2E_{n} }}{{m\omega^{2} }}}}. $$

Nello spazio delle fasi p − q la traiettoria chiusa corrispondente ad un periodo del moto classico è, dunque, un’ellissi di semiassi

$$ a = \sqrt {\frac{{2E_{n} }}{{m\omega^{2} }}} \qquad {\text{e}}\qquad b = \sqrt {2mE_{n} } , $$

la cui area è

$$ \pi ab = \pi \frac{{2E_{n} }}{\omega }. $$

Applicando la condizione di quantizzazione si ottiene

$$ \pi \frac{{2E_{n} }}{\omega } = 2\pi \hbar \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\qquad \text{con}\,n = 0,1,2 \cdots , $$

cioè

$$ E_{n} = \left( {n + \frac{1}{2}} \right)\hbar \omega \qquad \text{con}\,n = 0,1,2 \cdots . $$

In questo caso, il metodo WKB dà il risultato esatto.