Spazi metrici

Sommario

Spazi metrici, distanza. Diametro di uno spazio metrico. Spazi metrici limitati, illimitati. Palle aperte, chiuse. Insiemi aperti, chiusi. Unione e intersezione di insiemi aperti o chiusi. Definizione di interno, chiusura e frontiera di un insieme e loro proprietà. Spazi metrici e insiemi connessi. Insiemi connessi in ℝ. Poligonale. Insiemi aperti connessi in ℂ. Successioni convergenti, punti limite. La chiusura di un insieme coincide con i suoi punti limite. Insiemi densi. Successioni di Cauchy. Le successioni convergenti sono di Cauchy. Una successione di Cauchy che ammette una sottosuccessione convergente è convergente. Spazi metrici e insiemi completi. Completezza di ℂ (assumendo ℝ completo). Un sottoinsieme di uno spazio metrico completo è completo se e solo se è chiuso. Spazi metrici e insiemi (sequenzialmente) compatti. Uno spazio metrico compatto è completo. Spazi metrici totalmente limitati. Uno spazio metrico totalmente limitato è limitato. Uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato. Un sottoinsieme di ℝⁿ è compatto se e solo se è chiuso e limitato.